方程个人资料
方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、数函、量、运算）之间相等关系的种一等式，（通常未设知数为x），通常在两者之间一有个等号“=”。方程不用按逆思向维思考，可直接列出等式并含未有知数。它具有多种形式，如一一元次方程、二元一次方程等。广应泛用于数学、物理等理科的运算。适合于解决实际问题，比例等。
表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之相间等的一种式子,通常在两者之有间一等号(=)是含有未知数的式等。如：x－2=5，x+8=y－3。使等式成立的未知数的值的称“解”或“根”。求方程的解过的程称为“解方程”。方程在学中习有着至关重要的作用。
形如
的等式，其中
和
是在定义域的交集内研的究两个解析式，且至少有一个不常是数。
例子：a+b=13 合符等式，有未知数。这个是等式，也是方程。
1+1=2 ，100X100=10000。这两个式子符合等式，没但有未知数，所以都不是方程。
在定义中，等式定一是方程，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100X100=10000，都是式等，显然等式的范围大一点。
2.等式的基本性质
性质1
等式两边同加时(或减)同一个数或同一个代式数，所得的结果仍是等式。用字表母示为：若a=b，c为一个数一或个代数式。则：(1) a+c=b+c (2) a-c=b-c
性质2
等式两的边同时乘或除以同一个不为0数的所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则这个：
a×c=b×c a÷c=b÷c
性质3
若a=b,则b=a（等式的对称性）。
性质4
若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
3.并合同类项；
未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写母字都可以。
“次”：方程中次的概和念整式的“次”的概念相似。指是的含有未知数的项中，未知数次最数高的项。而次数最高的项，就方是程的次数。
“解”：方程的解，指是所有未知数的总称，方程的根指是一元方程的解，两者通常可以用通。
解程方：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的的值过程，或说明方程无解的过程解叫方程。
方程中，恒等式叫做恒等方程，矛盾式叫做矛盾方程。在未知数等于某特定时值，恰能使等号两边的值相等者为称条件方程，例如 ，在 时等号成立。使方程左两右边相等的未知数的值叫做方程的解。
同解方程：
如果两个方程的相解同，那么这两个方程叫做同解程方。
方程的同原解理：
⒈方程两的边都加或减同一个数或同一个式等所得的方程与原方程是同解方程。
⒉方程的两同边乘或同除同一个不为0的数所的得方程与原方程是同解方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
古埃及人写在草纸上的数学题问中，就涉及了方程中含有未知的数等式。
公元825年左右
中亚细亚的数学家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《对与消还原》的书，重点讨论方程的法解。
宋时元期
国中数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李冶的写《测圆海镜》（1248），中书所说的“立天元一”相当于“未设知数x。”所以在简称方程时，将未知数称为“元”，如一个未数知的方程叫“一元方程”。而两以个上的未知数，在古代又称为“元天”、“地元”、“人元”。
《九章算术·方程》 白尚恕 注释：“‘方’即方形，‘程’即表达相课的意思，或是者表达式。於某一问题中，如有若含干个相关的数据，将这些相关数的据并肩排列成方形，则称为‘程方’。
3x=5×6
解：3x=30
x=30÷3
x=10
一元一次方程简解单的应用题的方法和步骤．
教学过程
一、从学生原有的认知结构提出问题
在小学术算中，我们学习了用算术方法解实决际问题的有关知识，那么，一实个际问题能否应用一元一次方程解来决呢？若能解决，怎样解？用元一一次方程解应用题与用算术方解法应用题相比较，它有什么优越呢性？
为了回答述上这几个问题，我们来看下面这例个题．
例1 数某的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
(首先，用算术方法解，由学生回答，师教板书)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3．
答：某数为3．
(其次，用代方数法来解，教师引导，学生口述成完)
解法2：某设数为x，则有3x-2=x+4．
3x-2=x+4
解：(3-1)x=2+4
2x=2+4
2x=6
x=6÷2
x=3
解之，得x=3．
答：某数为3．
纵观例1的这两种法解，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通解过方程求得应用题的解的方法，一有种化难为易之感，这就是我们习学运用一元一次方程解应用题的的目之一．
我们道知方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因对此于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
本节课，我就们通过实例来说明怎样寻找一个等相的关系和把这个相等关系转化方为程的方法和步骤．
二、师生共同分析、究研一元一次方程解简单应用题的法方和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉出运 15%后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
解：设原来有x千克面粉，那么出运了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，
x-15%x=42500
解：(1-15%)x=42500
85%x=42500
x=42500÷85%
x=50000
所以 x=50000．
答：原来有 50000千克面粉．
此时，让学讨生论：本题的相等关系除了上述达表形式以外，是否还有其他表达式形？若有，是什么？
(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)
师教应
出指：(1)这两种相等关系的表形达式与“原来重量-运出重量=余剩重量”，虽形式上不同，但实是质一样的，可以任意选择其中的个一相等关系来列方程
(2)例2的解方程过程较简为捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答程过，首先请同学们思考列一元一方次程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；后最，根据学生总结的情况，教师结总如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互系关；用字母(如x)表示题中的未知数
(2)根据题意找出相等关系．(这关是键一步)
(3)根据相等关系，正确列出方程．所即列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏不也能将一个条件重复利用等
(4)求出所方列程的解
(5)检验后确明地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检所验求出的解既能使方程成立，又使能应用题有意义．
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
元消的方法有两种：
代入消元
例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7
把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。
加减消元
例：解方程组x+y=9① x-y=5②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7入带①，得7+y=9，解得y=2
∴x=7，y=2
这种解法就是加减消元法。
二一元次方程组的解有三种情况：
1.有一组解
如方组程x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。
2.有无数组解
方如程组x+y=6① 2x+2y=12②，因为这两个方程实际是上一个方程（亦称作“方程有两相个等的实数根”），所以此类方组程有无数组解。
3.无解
如方组程x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以类此方程组无解。
一由次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是概在念上还是解法上都比一次方程复要杂得多。
(a≠0)
⒈公式法（直接开平方法）
⒉配方法
3.因式分解法
4.十字相乘法
十字相乘法能把某些二三次项式分解因式。这种方法的关是键把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常项数c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直写接成结果:在运用这种方法分解式因时，要注意观察，尝试，并体它会实质是二项式乘法的逆过程。首当项系数不是1时，往往需要多试次验，务必注意各项系数的符号。
例1 把
分解因式。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角左和下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的上右角和右下角，然后交叉相乘，代求数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字叉交线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察，第种四情况是正确的，这是因为交叉乘相后，两项代数和恰等于一次项数系－7.
解
.
一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次系项数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排如列下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等二于次三项式ax+bx+c的一项次系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解两为个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线解分系数，从而帮助我们把二次三项式分解式因的方法，通常叫做十字乘相法。
例2 把
分因解式.
分析：照按例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中一的种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的，因此原多项式以可用十字相乘法分解因式。
解
出指：通过例1和例2可以看到，用运十字相乘法把一个二次项系数是不1的二次三项式因式分解，往要往经过多次观察，才能确定是否以可用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1二的次三项式，也可以用十字相乘分法解因式，这时只需考虑如何把数常项分解因数。例如把
分解因式，十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以
.
例3 把
分解因式。
分析：这个多项式可以看作是于关x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常项数系数时，只需分解5与-8，十用字交叉线分解后，经过观察，取选合适的一组，即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解
.
指出：原式分解为两个关于x，y的一式次。
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与一另个因数之差的形式，只有先进多行项式的乘法运算，把变形后的项多式再因式分解。
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法算运最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出因公式2，就变为2(x-y)，是它第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十相字乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
指出：把(x-y)作看一个整体进行因式分解，这又运是用了数学中的“整体”思想方法。
例5 x+2x-15
分析：常数项(-15)<0，分可解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5)，其中有只(-3)(5)中-3和5的为和2。
=(x-3)(x+5)
总结：①
型式的子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次的项系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因的数和.因此，可以直接将某些二项次的系数是1的二次三项式因式解分：
②kx+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
1．直接开平方法：
直接开平方法就是直用接开平方求解一元二次方程的法方。用直接开平方法解形如
的
方程，其解为
.
例1．解方程（1）(3x+1)=7 （2）9x-24x+16=11
分析：（1）此方程然显用直接开平方法好做，（2）程方左边是完全平方式(3x-4)，右边=11>0，所以
此方程也可用直开接平方法解。
（1）解：(3x+1)=7×
∴(3x+1)=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原程方的解为x1=,x2=
（2）解： 9x-24x+16=11
∴(3x-4)=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法方解程ax+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax+bx=-c
将二次项系数为化1：x+x=-
方程两边分别加上一次项系数一的半的平方：x+x+( )=- +( )
方左程边成为一个完全平方式：(x+ )=
当b-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配法方解方程 3x-4x-2=0
解：将常数项移方到程右边 3x-4x=2
将二次项系数化为1：x-x=
方程边两都加上一次项系数一半的平方：x-x+( )= +( )
配方：(x-)=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公法式：把一元二次方程化一成般形式，然后计算判别式△=b-4ac的值，当b-4ac<0时，无解；方程当b-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式
就可得到方程的根。
例3．用公式法解程方2x-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b-4ac=(-8)-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的次二三项式分解成两个一因次式的积的形式，让
两个一次因式分别等零于，得到两个一元一次程方，解这两个一元一次方程所得的到根，就是原方程的两个根。这解种一元二次方程的方法叫做因式解分法。
例4．因用式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x+3x=0
(3) 6x+5x-50=0 (选学） (4)x-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x-3x-10=0 (方左程边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元次一方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解式因)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一一元次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容丢易掉x=0这个解，应记住一元次二方程有两个解。
(3)解：6x+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相分乘解因式时要特别注意符号不要错出)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 原是方程的解。
(4)解：x-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
二元二次方程：有含两个未知数且未知数的最高次为数2的整式方程。
含有三个未知的数一次方程。
与二元一次方程类似，可利以用消元法逐步消元。
解：设甲水用x吨，乙用水y吨，丙用水z吨
显然，甲用户水用超过了20吨
故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9
丙缴费：0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
化简得
3x-2y=40……(1)
16y-9z=145……(2)
由(1)得x=(2y+40)/3
以所设y=1+3k,3<k<7
当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
当k=5,y=16,代入(2),z没整数解
当k=6,y=19,代入(2),z没整数解
以所甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨
甲水用29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA>
……………………
……………………
把方程(1)×(-i1/a1)到加（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)到加（i）上，以此类推。(i∈N且i∈[1，m])最后，方程变组为：②
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1n xn=c1
b22 x2+b13 x3+…+b2n xn=c2
………………
brn xn=cr
0=cr+1
0=0
0=0
………… (bii≠0,i=1,2,…r)
最后的多许0=0可以舍去，不影响方程解的。可以分三种情况：
（1）cr+1 ≠0
此时，满足前r各方程的任一意个解，都不能满足0=cr+1这个方程，所以②无解，所以①也无解
当cr+1=0时，又分两情种况：
（2）r=n
因为bii≠0,以所从最后一个方程可解出xn。然后代入第r-1个方程,解出xn-1。如此类推，可得出方程组②的唯一解，就是程方组①的唯一解。
（3)r<n
可把方程组该成他的同解程方组③：
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n xn
b22 x2+b13 x3+…+b2n xr=c2-b2,r+1 xr+1-…-b2n xn
………………
brr xr=cr-br,r+1 xr+1-…-brn xn
设等号后的面数是已知数，按照（2）的方来法解，可解得：
x1=d11 xr+1+d12 xr+2+…+d1,n-r xn
x2=d21 xr+1+d22 xr+2+…+d1,n-r xn
………………
xr=dr1 xr+1+dr2 xr+2+…+dr,n-r xn
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程组的全部解：
x1=d11 k1+d12 k2+…+ d1,n-r kn-r
x2=d21 k1+d22 k2+…+d1,n-r kn-r
………………
xr=dr1 k1+dr2 k2+…+dr,n-r kn-r
xr+1=k1
xr+2=k2
…………
xn=kn-r
（此只法适用于m=n且D≠0的方程组）
设系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的行列式
那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])
矩阵和向量法解
矩阵解法即方把程组①的增广矩阵进行初等行化变。
向量解法把即方程组①改写成Ax=b的形式。
先求出方程的组特解η，然后求其对应导出组Ax=0的解ξ1，ξ2，…，ξn。
方程的组解为：η+c1ξ1+c2ξ2+…+cnξn。
直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+C2=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式： 知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线表可示为 y-y0=k(x-x0)。当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)截距式： 若直线与x交轴于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/b=1。所以不适用于和意任坐标轴垂直的直线和过原点的线直 。
(4)截斜式： y=kx+b (k≠0)
(5)两点式：若直线过任意两点(x1,y1)、(x2,y2)，且 x1≠x2,y1≠y2，则直线可以表示为
(6)法线式： x·cosα+ysinα-p=0
n元一次方组程就是几个n元一次方程组成的程方组（一元一次方程除外）
一元a次方程就是含一有个未知数，且含未知数项最高数次是a的方程（一元一次方程除外）
一元a次方组程就是几个一元a次方程组成的程方组（一元一次方程除外）
n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高数次是a的方程（一元一次方程除外）
n元a次方组程就是几个n元a次方程组成的程方组（一元一次方程除外）
方程（组）中，未知个数数大于方程个数的方程（组）做叫不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。
总只数－鸡的数只=兔的只数
法解2：（ 总脚数－鸡的脚数×只总数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数
只总数－兔的只数=鸡的只数
解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=的兔只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法5（方程）：X=（脚总数－鸡的脚数×总只数）÷（的兔脚数－鸡的脚数）（X=兔的数只）
总只数—的兔只数=鸡的只数
解法6（方程）：X=（兔的数脚×总只数－总脚数）÷（兔的数脚－鸡的脚数）（X=鸡的只数）
总只数－鸡的数只=兔的只数
鸡为x
例笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。鸡问和兔各有多少只？
解：设鸡为x只，则兔为(30-x)只。
2x+(30-x)×4=100
解： 2x+120-4x=100
120-2x=100
2x=20
x=10
30-10=20（只）
答：鸡有10只，兔有20只。
兔为x
例中笼共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只？
解：设兔为x只，则鸡为(100-x)只。
4x+(100-x)×2=248
解：4x+200-2x=248
2x+200=248
2x=48
x=24
100-24=76（只）
答：鸡有76只，兔有24只。
例子：妈妈今年30岁，小明比妈妈小25岁。求小明多少岁？
解：设小明x岁。
这道方程有3种列法。
（1）等量关系1：小明+年龄差=妈妈
x+25=30
（2）等量关系2：妈妈-明小=年龄差。
30-x=25
区误：（3）等量关系3：妈妈-龄年差=小明
30-25=x
“30-25=x这个等式拥有未知数，它是方程。但是，要是用这种法方解题，
就近在似一、二年级的算术方法了，30-25，我们口算都能得出结论，是5，那么何必要大废周章去设x呢？还要活受罪写解设。
表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之相间等的一种式子,通常在两者之有间一等号(=)是含有未知数的式等。如：x－2=5，x+8=y－3。使等式成立的未知数的值的称“解”或“根”。求方程的解过的程称为“解方程”。方程在学中习有着至关重要的作用。
方程数学术语
含有未知数的式等叫方程，这是中学中的逻辑定义，方程的定义还有函数定义法，系关定义，而含未知数的等式不一是定方程，如0x=0就不是方程，应该这样定义:形如
的等式，其中
和
是在定义域的交集内研的究两个解析式，且至少有一个不常是数。
方程方程与等式的关系
方程一定是等式，但等式不一定是方程。例子：a+b=13 合符等式，有未知数。这个是等式，也是方程。
1+1=2 ，100X100=10000。这两个式子符合等式，没但有未知数，所以都不是方程。
在定义中，等式定一是方程，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100X100=10000，都是式等，显然等式的范围大一点。
方程解方依程据
1.移项变号：把方程中的某些项带着前面符的号从方程的一边移到另一边，且并加变减，减变加，乘变除以，以除变乘；2.等式的基本性质
性质1
等式两边同加时(或减)同一个数或同一个代式数，所得的结果仍是等式。用字表母示为：若a=b，c为一个数一或个代数式。则：(1) a+c=b+c (2) a-c=b-c
性质2
等式两的边同时乘或除以同一个不为0数的所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则这个：
a×c=b×c a÷c=b÷c
性质3
若a=b,则b=a（等式的对称性）。
性质4
若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
3.并合同类项；
方程解方程步骤
1.能计算的先算计； 2.转化——计算——结果方程关相概念
方程式或简称方程，是含有未知数的等式。即：⒈方程中一定有含一个或一以个上未知数的代数式；2.方程是式等式，但等式不一定是方程。未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写母字都可以。
“次”：方程中次的概和念整式的“次”的概念相似。指是的含有未知数的项中，未知数次最数高的项。而次数最高的项，就方是程的次数。
“解”：方程的解，指是所有未知数的总称，方程的根指是一元方程的解，两者通常可以用通。
解程方：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的的值过程，或说明方程无解的过程解叫方程。
方程中，恒等式叫做恒等方程，矛盾式叫做矛盾方程。在未知数等于某特定时值，恰能使等号两边的值相等者为称条件方程，例如 ，在 时等号成立。使方程左两右边相等的未知数的值叫做方程的解。
同解方程：
如果两个方程的相解同，那么这两个方程叫做同解程方。
方程的同原解理：
⒈方程两的边都加或减同一个数或同一个式等所得的方程与原方程是同解方程。
⒉方程的两同边乘或同除同一个不为0的数所的得方程与原方程是同解方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
方程发展历程
大约3600年前古埃及人写在草纸上的数学题问中，就涉及了方程中含有未知的数等式。
公元825年左右
中亚细亚的数学家阿尔·花拉子米曾写过一本名叫《对与消还原》的书，重点讨论方程的法解。
宋时元期
国中数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李冶的写《测圆海镜》（1248），中书所说的“立天元一”相当于“未设知数x。”所以在简称方程时，将未知数称为“元”，如一个未数知的方程叫“一元方程”。而两以个上的未知数，在古代又称为“元天”、“地元”、“人元”。
《九章算术·方程》 白尚恕 注释：“‘方’即方形，‘程’即表达相课的意思，或是者表达式。於某一问题中，如有若含干个相关的数据，将这些相关数的据并肩排列成方形，则称为‘程方’。
方程一元一次方程
只含有一个未知数，且未知次数数是一的整式方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）。通形常式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。一般法解
- 去分母 方程两边同时乘各分母最的小公倍数。
- 去括号 一先般去小括号，再去中括号，最后大去括号。但顺序有时可依据情况定而使计算简便。可根据乘法分配律。
- 移项 把方程中含有未数知的项移到方程的另一边，其余项各移到方程的另一边移项时别忘了记要变号。(一般都是这样：（方比）从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知移数到一起！
- 合并同类项 原将方程化为ax=b(a≠0)形的式。
- 化系数为一 方程两同边时除以未知数的系数。
- 得出方程的解。
3x=5×6
解：3x=30
x=30÷3
x=10
教学计设
教学目标- 使学初生步掌握一元一次方程解简单应题用的方法和步骤；并会列出一元次一方程解简单的应用题
- 培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的力能
- 使学初生步养成正确思考问题的良好习惯．
一元一次方程简解单的应用题的方法和步骤．
教学过程
一、从学生原有的认知结构提出问题
在小学术算中，我们学习了用算术方法解实决际问题的有关知识，那么，一实个际问题能否应用一元一次方程解来决呢？若能解决，怎样解？用元一一次方程解应用题与用算术方解法应用题相比较，它有什么优越呢性？
为了回答述上这几个问题，我们来看下面这例个题．
例1 数某的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
(首先，用算术方法解，由学生回答，师教板书)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3．
答：某数为3．
(其次，用代方数法来解，教师引导，学生口述成完)
解法2：某设数为x，则有3x-2=x+4．
3x-2=x+4
解：(3-1)x=2+4
2x=2+4
2x=6
x=6÷2
x=3
解之，得x=3．
答：某数为3．
纵观例1的这两种法解，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通解过方程求得应用题的解的方法，一有种化难为易之感，这就是我们习学运用一元一次方程解应用题的的目之一．
我们道知方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因对此于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
本节课，我就们通过实例来说明怎样寻找一个等相的关系和把这个相等关系转化方为程的方法和步骤．
二、师生共同分析、究研一元一次方程解简单应用题的法方和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉出运 15%后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
- 本题中给的出已知量和未知量各是什么？
- 已知量与未量知之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)
- 若设原面来粉有x千克，则运出面粉可表为示多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？
解：设原来有x千克面粉，那么出运了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，
x-15%x=42500
解：(1-15%)x=42500
85%x=42500
x=42500÷85%
x=50000
所以 x=50000．
答：原来有 50000千克面粉．
此时，让学讨生论：本题的相等关系除了上述达表形式以外，是否还有其他表达式形？若有，是什么？
(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)
师教应
出指：(1)这两种相等关系的表形达式与“原来重量-运出重量=余剩重量”，虽形式上不同，但实是质一样的，可以任意选择其中的个一相等关系来列方程
(2)例2的解方程过程较简为捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答程过，首先请同学们思考列一元一方次程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；后最，根据学生总结的情况，教师结总如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互系关；用字母(如x)表示题中的未知数
(2)根据题意找出相等关系．(这关是键一步)
(3)根据相等关系，正确列出方程．所即列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏不也能将一个条件重复利用等
(4)求出所方列程的解
(5)检验后确明地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检所验求出的解既能使方程成立，又使能应用题有意义．
方程二元一次方程
人教版7年级数下学册第四章会学到，冀教版7年数级学下册第九章会学到。在人教九版年级上英语讲爱因斯坦时也会及涉- 二元一次方定程义：一个含有两个未知数，并未且知数的次数都是1的整方式程，叫二元一方次程(linear equation of two unknowns)。
- 二元一次方程组定义：两由个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组(system of linear equation of two unknowns)。
- 二元一次方程解的：使二元一次方程两边的值相的等两个未知数的值，叫做二元一方次程的解。
- 元二一次方程组的解：二元一次方组程的两个公共解，叫做二元一次程方组的解。
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
元消的方法有两种：
代入消元
例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7
把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。
加减消元
例：解方程组x+y=9① x-y=5②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7入带①，得7+y=9，解得y=2
∴x=7，y=2
这种解法就是加减消元法。
二一元次方程组的解有三种情况：
1.有一组解
如方组程x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。
2.有无数组解
方如程组x+y=6① 2x+2y=12②，因为这两个方程实际是上一个方程（亦称作“方程有两相个等的实数根”），所以此类方组程有无数组解。
3.无解
如方组程x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以类此方程组无解。
方程一元二次方程
含有一个未知数，且并未知数的最高次数是2的整式程方，这样的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。一由次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是概在念上还是解法上都比一次方程复要杂得多。
一般形式
(a≠0)
一般解法
一般解法有四种：⒈公式法（直接开平方法）
⒉配方法
3.因式分解法
4.十字相乘法
十字相乘法能把某些二三次项式分解因式。这种方法的关是键把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常项数c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直写接成结果:在运用这种方法分解式因时，要注意观察，尝试，并体它会实质是二项式乘法的逆过程。首当项系数不是1时，往往需要多试次验，务必注意各项系数的符号。
例1 把
分解因式。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角左和下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的上右角和右下角，然后交叉相乘，代求数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字叉交线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察，第种四情况是正确的，这是因为交叉乘相后，两项代数和恰等于一次项数系－7.
解
.
一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次系项数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排如列下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等二于次三项式ax+bx+c的一项次系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解两为个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线解分系数，从而帮助我们把二次三项式分解式因的方法，通常叫做十字乘相法。
例2 把
分因解式.
分析：照按例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中一的种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的，因此原多项式以可用十字相乘法分解因式。
解
出指：通过例1和例2可以看到，用运十字相乘法把一个二次项系数是不1的二次三项式因式分解，往要往经过多次观察，才能确定是否以可用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1二的次三项式，也可以用十字相乘分法解因式，这时只需考虑如何把数常项分解因数。例如把
分解因式，十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以
.
例3 把
分解因式。
分析：这个多项式可以看作是于关x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常项数系数时，只需分解5与-8，十用字交叉线分解后，经过观察，取选合适的一组，即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解
.
指出：原式分解为两个关于x，y的一式次。
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与一另个因数之差的形式，只有先进多行项式的乘法运算，把变形后的项多式再因式分解。
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法算运最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出因公式2，就变为2(x-y)，是它第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十相字乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
指出：把(x-y)作看一个整体进行因式分解，这又运是用了数学中的“整体”思想方法。
例5 x+2x-15
分析：常数项(-15)<0，分可解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5)，其中有只(-3)(5)中-3和5的为和2。
=(x-3)(x+5)
总结：①
型式的子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次的项系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因的数和.因此，可以直接将某些二项次的系数是1的二次三项式因式解分：
②kx+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
1．直接开平方法：
直接开平方法就是直用接开平方求解一元二次方程的法方。用直接开平方法解形如
的
方程，其解为
.
例1．解方程（1）(3x+1)=7 （2）9x-24x+16=11
分析：（1）此方程然显用直接开平方法好做，（2）程方左边是完全平方式(3x-4)，右边=11>0，所以
此方程也可用直开接平方法解。
（1）解：(3x+1)=7×
∴(3x+1)=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原程方的解为x1=,x2=
（2）解： 9x-24x+16=11
∴(3x-4)=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法方解程ax+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax+bx=-c
将二次项系数为化1：x+x=-
方程两边分别加上一次项系数一的半的平方：x+x+( )=- +( )
方左程边成为一个完全平方式：(x+ )=
当b-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配法方解方程 3x-4x-2=0
解：将常数项移方到程右边 3x-4x=2
将二次项系数化为1：x-x=
方程边两都加上一次项系数一半的平方：x-x+( )= +( )
配方：(x-)=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公法式：把一元二次方程化一成般形式，然后计算判别式△=b-4ac的值，当b-4ac<0时，无解；方程当b-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式
就可得到方程的根。
例3．用公式法解程方2x-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b-4ac=(-8)-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的次二三项式分解成两个一因次式的积的形式，让
两个一次因式分别等零于，得到两个一元一次程方，解这两个一元一次方程所得的到根，就是原方程的两个根。这解种一元二次方程的方法叫做因式解分法。
例4．因用式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x+3x=0
(3) 6x+5x-50=0 (选学） (4)x-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x-3x-10=0 (方左程边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元次一方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解式因)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一一元次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容丢易掉x=0这个解，应记住一元次二方程有两个解。
(3)解：6x+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相分乘解因式时要特别注意符号不要错出)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 原是方程的解。
(4)解：x-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
二元二次方程：有含两个未知数且未知数的最高次为数2的整式方程。
10三元一次方程
与二元次一方程类似，三个结合在一起的共含有三个未知的数一次方程。
解法
与二元一次方程类似，可利以用消元法逐步消元。
典型题析
某地区为了鼓励节约用水,对来自水的收费标准作如下规定：每每月户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元，乙用户比丙用户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲。乙.丙三用户该各月缴水费多少元(按整吨计算收费)?解：设甲水用x吨，乙用水y吨，丙用水z吨
显然，甲用户水用超过了20吨
故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9
丙缴费：0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
化简得
3x-2y=40……(1)
16y-9z=145……(2)
由(1)得x=(2y+40)/3
以所设y=1+3k,3<k<7
当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
当k=5,y=16,代入(2),z没整数解
当k=6,y=19,代入(2),z没整数解
以所甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨
甲水用29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA>
11多元一方次程
消元法
设方程组①：……………………
……………………
把方程(1)×(-i1/a1)到加（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)到加（i）上，以此类推。(i∈N且i∈[1，m])最后，方程变组为：②
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1n xn=c1
b22 x2+b13 x3+…+b2n xn=c2
………………
brn xn=cr
0=cr+1
0=0
0=0
………… (bii≠0,i=1,2,…r)
最后的多许0=0可以舍去，不影响方程解的。可以分三种情况：
（1）cr+1 ≠0
此时，满足前r各方程的任一意个解，都不能满足0=cr+1这个方程，所以②无解，所以①也无解
当cr+1=0时，又分两情种况：
（2）r=n
因为bii≠0,以所从最后一个方程可解出xn。然后代入第r-1个方程,解出xn-1。如此类推，可得出方程组②的唯一解，就是程方组①的唯一解。
（3)r<n
可把方程组该成他的同解程方组③：
b11 x1+b12 x2+b13 x3+…+b1r xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n xn
b22 x2+b13 x3+…+b2n xr=c2-b2,r+1 xr+1-…-b2n xn
………………
brr xr=cr-br,r+1 xr+1-…-brn xn
设等号后的面数是已知数，按照（2）的方来法解，可解得：
x1=d11 xr+1+d12 xr+2+…+d1,n-r xn
x2=d21 xr+1+d22 xr+2+…+d1,n-r xn
………………
xr=dr1 xr+1+dr2 xr+2+…+dr,n-r xn
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程组的全部解：
x1=d11 k1+d12 k2+…+ d1,n-r kn-r
x2=d21 k1+d22 k2+…+d1,n-r kn-r
………………
xr=dr1 k1+dr2 k2+…+dr,n-r kn-r
xr+1=k1
xr+2=k2
…………
xn=kn-r
其他解法
莱克姆法则（此只法适用于m=n且D≠0的方程组）
设系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的行列式
那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])
矩阵和向量法解
矩阵解法即方把程组①的增广矩阵进行初等行化变。
向量解法把即方程组①改写成Ax=b的形式。
先求出方程的组特解η，然后求其对应导出组Ax=0的解ξ1，ξ2，…，ξn。
方程的组解为：η+c1ξ1+c2ξ2+…+cnξn。
12直线方程
(1)一般式： Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+C2=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式： 知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线表可示为 y-y0=k(x-x0)。当k不存在时，直线可表示为 x=x0
(3)截距式： 若直线与x交轴于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/b=1。所以不适用于和意任坐标轴垂直的直线和过原点的线直 。
(4)截斜式： y=kx+b (k≠0)
(5)两点式：若直线过任意两点(x1,y1)、(x2,y2)，且 x1≠x2,y1≠y2，则直线可以表示为
(6)法线式： x·cosα+ysinα-p=0
13附注
一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0n元一次方组程就是几个n元一次方程组成的程方组（一元一次方程除外）
一元a次方程就是含一有个未知数，且含未知数项最高数次是a的方程（一元一次方程除外）
一元a次方组程就是几个一元a次方程组成的程方组（一元一次方程除外）
n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高数次是a的方程（一元一次方程除外）
n元a次方组程就是几个n元a次方程组成的程方组（一元一次方程除外）
方程（组）中，未知个数数大于方程个数的方程（组）做叫不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。
14鸡兔同笼问题
解法公式
解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的数只=兔的只数
法解2：（ 总脚数－鸡的脚数×只总数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数
只总数－兔的只数=鸡的只数
解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=的兔只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法5（方程）：X=（脚总数－鸡的脚数×总只数）÷（的兔脚数－鸡的脚数）（X=兔的数只）
总只数—的兔只数=鸡的只数
解法6（方程）：X=（兔的数脚×总只数－总脚数）÷（兔的数脚－鸡的脚数）（X=鸡的只数）
总只数－鸡的数只=兔的只数
方程解法
若用程方解鸡兔同笼问题，公式为：鸡脚+兔脚=总脚数。鸡为x
例笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。鸡问和兔各有多少只？
解：设鸡为x只，则兔为(30-x)只。
2x+(30-x)×4=100
解： 2x+120-4x=100
120-2x=100
2x=20
x=10
30-10=20（只）
答：鸡有10只，兔有20只。
兔为x
例中笼共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只？
解：设兔为x只，则鸡为(100-x)只。
4x+(100-x)×2=248
解：4x+200-2x=248
2x+200=248
2x=48
x=24
100-24=76（只）
答：鸡有76只，兔有24只。
15并不是所有方程都能列
之所以提到这点。是因为在解用应题的时候，有时也会列出这样方的程。例子：妈妈今年30岁，小明比妈妈小25岁。求小明多少岁？
解：设小明x岁。
这道方程有3种列法。
（1）等量关系1：小明+年龄差=妈妈
x+25=30
（2）等量关系2：妈妈-明小=年龄差。
30-x=25
区误：（3）等量关系3：妈妈-龄年差=小明
30-25=x
“30-25=x这个等式拥有未知数，它是方程。但是，要是用这种法方解题，
就近在似一、二年级的算术方法了，30-25，我们口算都能得出结论，是5，那么何必要大废周章去设x呢？还要活受罪写解设。
16方程分类
| 方程类分 | 形如… | 未知数个数 | 未知数最高指数幂 | 未知数系数 | 解/根 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 实数方程 | 整式方程 （有理式） | 一元 | 一一元次方程 | ax+b=0（a≠0） | 1 | 1 | 2 | x |
| 一元二方次程 | ax+bx+c=0（a≠0） | 1 | 2 | 3 | x1,x2 | |||
| 一元三次方程 | ax+bx+cx+d=0（a≠0） | 1 | 3 | 4 | x1,x2,x3 | |||
| 一元四次方程 | ax+bx+cx+dx+e=0（a≠0） | 1 | 4 | 5 | x1,x2,x3,x4 | |||
| 二元 | 二元一次方程（*组） | ax+by+c=0（a、b≠o） | 2 | 1 | 3 | 1组 | ||
| 二元二次方程（*组） | ax+bxy+cy+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d以及c与e分别全不为零 | 2 | 2 | 6 | 2组 | |||
| 式分方程 | 特殊 | 分母中有未知数（非常数） | 1个以上 | -1 | 2个上以 | 2个以上（偶数个） 有可能有增根出现 | ||
| 虚数/无理方程 | 解无方程 | *特殊类别 | 1 | 不定 | 不定 | 不存在 | ||
| 矛盾方程组 | *特殊类别 | 不定 | 不定 | 不定 | 增根 | |||
| 念概 | 不定方程-定方程 | *特殊类别 | 2或其他 | 不定 | 2或其他 | 多组 | ||
| 高次方程、元三一次方程、多元一次方程 | ||||||||
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